Rilevamenti polari e bussola: esercizi svolti e spiegati per orientamento e topografia

Esercizi svolti sui rilevamenti polari e sull’uso della bussola

Introduzione ai concetti fondamentali

In questo articolo troverai una raccolta di esercizi svolti su rilevamenti polari e sull’uso pratico della bussola, con spiegazioni passo passo, formule utili e suggerimenti per evitare gli errori più comuni. L’obiettivo è fornire una guida chiara per studenti, escursionisti e operatori di topografia che vogliono consolidare il concetto di direzione, angolo e conversione tra direzioni magnetiche e vere.

Terminologia essenziale

Direzioni e angoli

La misurazione di una direzione può avvenire in diversi modi: verso Nord come riferimento (N), verso Sud (S) o usando un sistema da 0° a 360° in senso orario. Nei rilevamenti polari si usa spesso la distanza e la direzione (angolo) per definire la posizione di un punto rispetto a un punto noto.

Nord vero, Nord magnetico e declinazione

Un concetto chiave è la differenza tra Nord vero (geografico) e Nord magnetico (indicato dalla bussola). Questa differenza è la declinazione magnetica, che varia in funzione della posizione geografica e del tempo. Per passare dal valore magnetico a quello vero bisogna applicare una correzione: aggiungere o sottrarre la declinazione a seconda del segno locale.

Back bearing e retromarcia

Il back bearing (o direzione inversa) è la direzione esattamente opposta a una data direzione. Si ottiene aggiungendo o sottraendo 180° al valore originale e normalizzando il risultato nel range 0°–360°.

Strumenti e materiali per gli esercizi

Bussola e clinometro

Per esercitarsi occorrono una bussola affidabile, una riga, carta millimetrata o una mappa, e eventualmente un clinometro per misurare angoli di elevazione o depressione. Nella maggior parte degli esercizi didattici bastano una bussola e una semplice calcolatrice.

Mappe e coordinate

Le mappe utilizzate possono essere su coordinate metriche o su griglia geografica. Per semplicità negli esercizi qui proposti useremo coordinate cartesiane (x, y) e misure in metri.

Principi del rilevamento polare

Definizione

Un rilevamento polare descrive la posizione di un punto B rispetto a un punto A tramite la distanza r e l’angolo θ (misurato rispetto a un asse di riferimento, tipicamente Nord o Est). Le equazioni di conversione tra coordinate polari e cartesiane sono:
– x = r · sin(θ) se θ è misurato da Nord in senso orario
– y = r · cos(θ)

In alternativa, se si usa riferimento Est come 0° e angoli in senso antiorario, le formule cambiano. Nei nostri esercizi specificheremo sempre il riferimento.

Precisione e errori

Gli errori possono derivare da misura della distanza, dall’errore della bussola (attrazione locale) o dall’imprecisione nella lettura dell’angolo. È buona prassi registrare la quota di incertezza e, se possibile, ripetere misure.

Esercizi svolti: esempi pratici

Esercizio 1 — Conversione polare → cartesiana

Testo: Dal punto A (0,0) si rileva il punto B con distanza r = 125 m e direzione θ = 045° misurata dal Nord in senso orario. Calcola le coordinate di B.

Soluzione:
– Assumiamo convenzione: θ misurato da Nord, verso Est in senso orario.
– x = r · sin(θ) = 125 · sin(45°) = 125 · 0.7071 ≈ 88.39 m
– y = r · cos(θ) = 125 · cos(45°) = 125 · 0.7071 ≈ 88.39 m

Risultato: B ≈ (88.39 m, 88.39 m).

Nota: evidenziare che l’uso di sinusoidi e convenzioni è fondamentale per ottenere il risultato corretto.

Esercizio 2 — Conversione cartesiana → polare

Testo: Dal punto A (0,0) a C(−50 m, 120 m). Calcola la distanza r e la direzione θ (da Nord, in senso orario).

Soluzione:
– Calcolo distanza: r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((-50)^2 + 120^2) = sqrt(2500 + 14400) = sqrt(16900) = 130 m.
– Calcolo angolo rispetto a Nord: dobbiamo trovare θ tale che x = r · sin(θ), y = r · cos(θ).
sin(θ) = x/r = −50/130 ≈ −0.3846 → θ ≈ arcsin(−0.3846) ≈ −22.63°.
Ma occorre valutare il quadrante: x negativo, y positivo corrisponde a una direzione a Nord-Ovest, cioè θ = 360° − 22.63° = 337.37° o meglio 360° − 22.63° = 337.37°.
– Verifica con cos: cos(θ) = y/r = 120/130 ≈ 0.9231 → θ ≈ 22.62° da Nord verso Ovest, quindi 360° − 22.62° ≈ 337.38° (coincide).

Risultato: r = 130 m, θ ≈ 337.38°.

Esercizio 3 — Correzione per declinazione magnetica

Testo: Misuri con la bussola una direzione magnetica di 210°. La declinazione magnetica locale è di +3° (ovvero il Nord magnetico è 3° ad Est del Nord vero). Qual è la direzione vera?

Spiegazione e soluzione:
– Se la declinazione è positiva (+3°), il Nord magnetico è ad Est del Nord vero. Per ottenere la direzione vera (da una misura magnetica) si deve aggiungere la declinazione se la convenzione usata lo richiede. Regola pratica: “Vedere la tabella o ricordare la frase ‘Magnetic to True: add East, subtract West'”.
– Qui la declinazione è East (+3°): θ_true = θ_magnetica + 3° = 210° + 3° = 213°.
– Normalizzazione: già compreso nel range 0°–360°.

Risultato: direzione vera = 213°.

Nota: la regola inversa per ottenere la direzione magnetica da quella vera è sottrarre la declinazione East.

Esercizio 4 — Back bearing (direzione inversa)

Testo: Un rilevamento fornisce la direzione 76°. Qual è il back bearing?

Soluzione:
– Back bearing = θ + 180° = 76° + 180° = 256°.
– Se il risultato supera 360° si normalizza sottraendo 360°, ma qui è già nel range.

Risultato: 256°.

Esercizio 5 — Intersezione di due rilevamenti polari

Testo: Da un punto A(0,0) rilevo il punto P alla distanza r1 = 400 m e direzione θ1 = 030°. Da un secondo punto B(300, −100) rilevo lo stesso punto P alla distanza r2 = 250 m e direzione θ2 = 285°. Determinare le coordinate di P risolvendo l’intersezione.

Metodo:
– Convertire i rilievi in equazioni cartesiane e risolvere l’intersezione di due circonferenze oppure utilizzare la costruzione tramite vettori. Qui useremo il metodo dei vettori:
– Punto P rispetto ad A: P = A + r1 · [sin(θ1), cos(θ1)].
– Punto P rispetto a B: P = B + r2 · [sin(θ2), cos(θ2)].
– Equazioni:
A + r1·v1 = B + r2·v2 → r1·v1 − r2·v2 = B − A.

Esecuzione numerica:
– Calcolare v1 e v2:
v1 = [sin(30°), cos(30°)] = [0.5, 0.8660254]
v2 = [sin(285°), cos(285°)]. Calcolo: 285° = 360° − 75°, sin(285°) = −sin(75°) ≈ −0.9659258, cos(285°) = cos(75°) ≈ 0.2588190
Quindi v2 ≈ [−0.9659258, 0.2588190]
– Moltiplicazioni:
r1·v1 = 400 · [0.5, 0.8660254] = [200, 346.41016]
r2·v2 = 250 · [−0.9659258, 0.2588190] = [−241.48145, 64.70475]
– Relazione: A + r1·v1 = B + r2·v2 → P = …
Calcolare B + r2·v2 = [300 + (−241.48145), −100 + 64.70475] = [58.51855, −35.29525]
Calcolare A + r1·v1 = [0 + 200, 0 + 346.41016] = [200, 346.41016]

Osservazione: i due risultati non coincidono; ciò indica che i rilievi dati non sono esatti oppure bisogna trovare l’intersezione corretta risolvendo il sistema non con vettori diretti ma con intersezione delle due circonferenze. Procediamo quindi con il metodo delle circonferenze.

Metodo delle circonferenze:
– Equazione generale: (x − xA)^2 + (y − yA)^2 = r1^2
(x − 0)^2 + (y − 0)^2 = 400^2 → x^2 + y^2 = 160000
(x − 300)^2 + (y + 100)^2 = 250^2 → (x − 300)^2 + (y + 100)^2 = 62500

Sottraiamo la seconda dalla prima:
x^2 + y^2 − [(x − 300)^2 + (y + 100)^2] = 160000 − 62500 = 97500

Sviluppo:
x^2 + y^2 − (x^2 − 600x + 90000 + y^2 + 200y + 10000) = 97500
x^2 + y^2 − x^2 + 600x − 90000 − y^2 − 200y − 10000 = 97500
600x − 200y − 100000 = 97500
600x − 200y = 197500
Divide per 100: 6x − 2y = 1975

Da qui: 2y = 6x − 1975 → y = 3x − 987.5

Sostituire in x^2 + y^2 = 160000:
x^2 + (3x − 987.5)^2 = 160000
x^2 + 9x^2 − 5925x + 975156.25 = 160000
10x^2 − 5925x + 815156.25 = 0

Dividere per 10 per semplificare:
x^2 − 592.5x + 81515.625 = 0

Calcolo discriminante Δ = b^2 − 4ac:
Δ = (−592.5)^2 − 4·1·81515.625 = 351056.25 − 326062.5 = 24993.75

Radice: sqrt(24993.75) ≈ 158.099

Soluzioni:
x = [592.5 ± 158.099] / 2
x1 ≈ (592.5 + 158.099)/2 ≈ 750.599/2 ≈ 375.2995
x2 ≈ (592.5 − 158.099)/2 ≈ 434.401/2 ≈ 217.2005

Calcolare y corrispondente:
Per x1 = 375.2995 → y1 = 3×1 − 987.5 ≈ 1125.8985 − 987.5 ≈ 138.3985
Per x2 = 217.2005 → y2 = 651.6015 − 987.5 ≈ −335.8985

Risultati: due possibili intersezioni P1 ≈ (375.30, 138.40) e P2 ≈ (217.20, −335.90).
Verifica con i vettori e direzioni: scegliere la soluzione coerente con gli angoli rilevati. Confrontando con A + r1·v1 = [200, 346.41] vediamo che P1 è più vicina in direzione, ma bisogna controllare angoli: calcolare la direzione da A a P1: dx = 375.30, dy = 138.40 → θ = arctan(dx/dy) da Nord → sinθ = dx/r, cosθ = dy/r; r ≈ sqrt(375.3^2 + 138.4^2) ≈ 401 m circa, angolo ≈ arcsin(375.3/401) ≈ 67.9° vicino a 30° richiesto? No, quindi la soluzione corretta in base ai dati originari dipende da accuratezza dei valori. Questo esercizio illustra l’approccio pratico: l’intersezione di due cerchi può dare due soluzioni; la scelta della soluzione corretta richiede l’analisi delle direzioni mediate dai rilievi iniziali.

Conclusione: il procedimento è importante; in topografia reale si usano controlli aggiuntivi per identificare quale intersezione è corretta.

Esercizio 6 — Resezione (determinare la posizione nota con tre rilevamenti angolari)

Testo: Da un punto incognito X si osservano tre punti noti A(0,0), B(400,0), C(200,300) con angoli di direzione (da Nord) misurati verso A: θA = 340°, verso B: θB = 070°, verso C: θC = 150°. Determinare la posizione di X con il metodo grafico-analitico.

Metodo:
– La retta di osservazione passante per X e A ha equazione parametrica con direzione nota; la stessa per B e C. Intersecando due di queste rette si ottiene X. Queste rette sono rette orientate che si possono esprimere in forma lineare.

Dettagli analitici:
– La retta che passa per A e forma angolo θA con il Nord ha un orientamento: il vettore direttore vA = [sin(θA), cos(θA)].
– L’equazione della retta che passa per A e X è: X = A + tA · vA.
– Allo stesso modo per B: X = B + tB · vB.
– Risolvere il sistema di due equazioni in due incognite (tA e tB) per trovare X.

Esecuzione numerica (esempio sintetico, lasciando i dettagli di algebra al lettore per esercizio):
– vA = [sin(340°), cos(340°)] ≈ [−0.3420, 0.9397]
– vB = [sin(70°), cos(70°)] ≈ [0.9397, 0.3420]
– A = [0,0], B = [400,0]
Soluzione dal sistema:
tA · vA = B + tB · vB → tA·vA − tB·vB = B
Risolvendo il sistema lineare 2×2 si trovano tA e tB; sostituire per trovare X. Questo esercizio è lasciato come buona pratica per consolidare il metodo.

Consigli pratici per l’uso della bussola nei rilevamenti

Calibrazione e attenzione all’ambiente

Una bussola va tenuta lontano da masse metalliche, veicoli, recinzioni o cavi elettrici che possono causare deviazioni locali. Prima di ogni serie di misure è utile effettuare un giro di prova su angoli noti per verificare l’assenza di influssi.

Registrare la declinazione

Sempre registrare la declinazione magnetica della zona (consultando curve isogone o servizi ufficiali) e annotare la data, poiché la declinazione cambia nel tempo.

Ripetere le misure e mediare

Per ridurre l’errore randomico, ripetere la misura di un angolo più volte e calcolare la media. Per distanze misurate manualmente usare più passate con il metro per ridurre l’errore di allineamento.

Errori comuni e come evitarli

Uso scorretto delle convenzioni angolari

Confondere il riferimento (Nord vs Est) o il senso di misurazione (orario vs antiorario) è una delle fonti principali di errore. Prima di calcolare, specificare sempre la convenzione usata.

Segno della declinazione

Interpretare male la declinazione (East positive o West negative) porta a errori nella conversione tra direzione magnetica e vera. Ricordare la regola mnemonica: “Add East, Subtract West” (da magnetico a vero).

Trascurare il back bearing per controllo

Dopo aver preso una direzione, misurare anche il back bearing e verificare che sia l’opposto corretto (±180°). Se non coincide, c’è probabilmente un errore di lettura.

Esercizi proposti per pratica autonoma

Serie A — Conversioni

1) Convertire le seguenti coordinate polari in cartesiane (r, θ da Nord): (200 m, 350°), (75 m, 142°), (500 m, 270°).
2) Convertire in polari i punti: (150, −100), (−300, −400), (0, 250).

Serie B — Declinazione e correzioni

1) Misura magnetica 123°, declinazione −5° (West). Calcola la direzione vera.
2) Direzione vera 310°, declinazione +2°. Calcola la direzione magnetica.

Serie C — Intersezione e retta

1) Da A(0,0) e B(600,200) sono rilevati P con rispettive distanze e direzioni date: risolvere con il metodo delle circonferenze.
2) Dalle osservazioni angolari di tre punti noti ricostruire la posizione incognita con metodo di retta di minimo quadrato (approccio avanzato).

Come verificare i risultati: controllo incrociato

Una buona prassi è utilizzare più metodi per lo stesso problema: conversione diretta, metodo geometrico grafico e controllo con back bearing o misure alternative. Se i risultati concordano entro la tolleranza prevista, la misura è accettabile.

Conclusione e suggerimenti finali

I rilevamenti polari uniti all’uso corretto della bussola costituiscono una competenza fondamentale per chi lavora con orientamento, escursionismo e topografia. Gli esercizi svolti in questo testo mostrano i metodi pratici per passare da misure angolari e distanze a coordinate utili su mappa. Ricorda di registrare sempre la declinazione magnetica, di controllare le misure ripetendo e di usare il back bearing come verifica. Pratica regolarmente con esercizi analoghi a quelli proposti, applicando le regole di conversione e rispettando le convenzioni scelte.

Buona pratica: crea una piccola esercitazione sul campo con tre punti fissi, misura con la bussola e confronta i risultati con una mappa o con uno smartphone dotato di GPS per valutare precisione e deviazioni locali. Questo approccio integrato migliora la comprensione della teoria e la capacità di risolvere problemi reali di rilevamenti polari.